Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Keplerova úloha

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Masivní vylepšení)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 6: Řádka 6:
== Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla ==
== Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla ==
-
Mějme tělesa o [[hmotnost]]ech <math>m_1</math> a <math>m_2</math>, velikost [[síla|síly]], kterou se přitahují je dána vztahem
+
Mějme tělesa o [[hmotnost]]ech <big>\(m_1</math> a <big>\(m_2</math>, velikost [[síla|síly]], kterou se přitahují je dána vztahem
-
<math>F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}</math>,
+
<big>\(F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}</math>,
-
kde <math>G</math> je [[gravitační konstanta]] a <math>r</math> vzdálenost těles. Této síle odpovídá [[potenciální energie]]
+
kde <big>\(G</math> je [[gravitační konstanta]] a <big>\(r</math> vzdálenost těles. Této síle odpovídá [[potenciální energie]]
-
<math>V=-\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
+
<big>\(V=-\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
[[Lagrangián]] soustavy je pak dán výrazem
[[Lagrangián]] soustavy je pak dán výrazem
-
<math>L=T-V=\frac{1}{2}m_1 \dot{\rm{x}}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\rm{x}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}_2-\rm{x}_1|}</math>,
+
<big>\(L=T-V=\frac{1}{2}m_1 \dot{\rm{x}}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\rm{x}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}_2-\rm{x}_1|}</math>,
-
kde <math>\rm{x}_1</math> a <math>\rm{x}_2</math> jsou [[polohový vektor|polohové vektory]] prvního a druhého tělesa.
+
kde <big>\(\rm{x}_1</math> a <big>\(\rm{x}_2</math> jsou [[polohový vektor|polohové vektory]] prvního a druhého tělesa.
Ukazuje se výhodnější pracovat v [[těžišťová soustava|těžišťové soustavě]], zavedeme tedy nové proměnné
Ukazuje se výhodnější pracovat v [[těžišťová soustava|těžišťové soustavě]], zavedeme tedy nové proměnné
-
<math>\rm{X}=\frac{m_1 \rm{x}_1 + m_2 \rm{x}_2}{m_1 + m_2}</math>,
+
<big>\(\rm{X}=\frac{m_1 \rm{x}_1 + m_2 \rm{x}_2}{m_1 + m_2}</math>,
-
<math>\rm{x}=\rm{x}_1 - \rm{x}_2</math>,
+
<big>\(\rm{x}=\rm{x}_1 - \rm{x}_2</math>,
kde první popisuje polohu [[těžiště]] a druhá relativní polohu prvního tělesa.
kde první popisuje polohu [[těžiště]] a druhá relativní polohu prvního tělesa.
Řádka 30: Řádka 30:
Lagrangián v těchto proměnných má tvar
Lagrangián v těchto proměnných má tvar
-
<math>L=\frac{1}{2}M \dot{\rm{X}}^2 + \frac{1}{2}\mu \dot{\rm{x}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}|}</math>,
+
<big>\(L=\frac{1}{2}M \dot{\rm{X}}^2 + \frac{1}{2}\mu \dot{\rm{x}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}|}</math>,
Kde  
Kde  
-
<math>M=m_1 + m_2</math>
+
<big>\(M=m_1 + m_2</math>
a
a
-
<math>\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}</math>.
+
<big>\(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}</math>.
-
Zde je zřejmé, že proměnná <math>\rm{X}</math> je [[cyklická souřadnice|cyklická]] (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz <math>M \dot{X}</math> [[integrál pohybu|integrálem pohybu]], což představuje [[zákon zachování hybnosti]] soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar
+
Zde je zřejmé, že proměnná <big>\(\rm{X}</math> je [[cyklická souřadnice|cyklická]] (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz <big>\(M \dot{X}</math> [[integrál pohybu|integrálem pohybu]], což představuje [[zákon zachování hybnosti]] soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar
-
<math>L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
+
<big>\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
-
Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že <math>\theta =90</math> a <math>\dot{\theta}=0</math>, pak pro další časy <math>\theta</math> zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.
+
Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že <big>\(\theta =90</math> a <big>\(\dot{\theta}=0</math>, pak pro další časy <big>\(\theta</math> zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.
-
<math>L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2  + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
+
<big>\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2  + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):
Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):
-
<math>L= \frac{1}{2} (\dot{r}^2  + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G M}{r}</math>
+
<big>\(L= \frac{1}{2} (\dot{r}^2  + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G M}{r}</math>
[[lagrangeovy rovnice druhého druhu|Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu]] mají pro tento lagrangián tvar:
[[lagrangeovy rovnice druhého druhu|Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu]] mají pro tento lagrangián tvar:
-
<math>r^2 \dot{\varphi} = l</math>
+
<big>\(r^2 \dot{\varphi} = l</math>
-
<math>\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2} </math>
+
<big>\(\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2} </math>
[[Soubor:Plocha pruvodice.png|thumb|200px|Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.]]
[[Soubor:Plocha pruvodice.png|thumb|200px|Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.]]
-
První rovnice představuje [[zákon zachování momentu hybnosti]], jenž je úměrný konstantě <math>l</math>, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu [[odstředivá síla|odstředivé]] a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná [[průvodič]]em za jednotku času je konstantní (rovna <math>l/2</math>). Odvodili jsme tedy [[druhý Keplerův zákon]].
+
První rovnice představuje [[zákon zachování momentu hybnosti]], jenž je úměrný konstantě <big>\(l</math>, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu [[odstředivá síla|odstředivé]] a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná [[průvodič]]em za jednotku času je konstantní (rovna <big>\(l/2</math>). Odvodili jsme tedy [[druhý Keplerův zákon]].
-
Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou <math>r</math>.
+
Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou <big>\(r</math>.
-
<math>\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2} </math>
+
<big>\(\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2} </math>
-
Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné <math>u=\frac{1}{r}</math>, potom totiž máme:
+
Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné <big>\(u=\frac{1}{r}</math>, potom totiž máme:
-
<math>\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}</math>
+
<big>\(\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}</math>
-
Označíme-li <math>u'=\frac{du}{d\varphi}</math>, dostáváme
+
Označíme-li <big>\(u'=\frac{du}{d\varphi}</math>, dostáváme
-
<math>\ddot{r}=-l u'' \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u''</math>.
+
<big>\(\ddot{r}=-l u'' \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u''</math>.
Po dosazení do původní rovnice získáváme [[Binetův vzorec]]
Po dosazení do původní rovnice získáváme [[Binetův vzorec]]
-
<math>u''+u=\frac{GM}{l^2}</math>,
+
<big>\(u''+u=\frac{GM}{l^2}</math>,
Což je rovnice pro [[lineární harmonický oscilátor]] s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar
Což je rovnice pro [[lineární harmonický oscilátor]] s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar
-
<math>u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}</math>
+
<big>\(u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}</math>
Rovnice vypočtené křivky v [[polární souřadnice|polárních souřadnicích]] tedy je
Rovnice vypočtené křivky v [[polární souřadnice|polárních souřadnicích]] tedy je
-
<math>r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)}</math>,
+
<big>\(r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)}</math>,
kde
kde
-
<math>p = \frac{l^2}{GM}</math>
+
<big>\(p = \frac{l^2}{GM}</math>
-
<math>\varepsilon = A\frac{l^2}{GM}</math>.
+
<big>\(\varepsilon = A\frac{l^2}{GM}</math>.
Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis [[kuželosečky]] v polárních souřadnicích.
Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis [[kuželosečky]] v polárních souřadnicích.
-
Přičemž <math>p</math> představuje [[parametr kuželosečky]] a <math>\varepsilon</math> její [[excentricita|excentricitu]]. Výsledná křivka je tedy [[kružnice]], [[elipsa]], [[parabola (matematika)|parabola]] nebo [[hyperbola]]. Odvodili jsme tedy [[první Keplerův zákon]]. Speciálně planety se pohybují po elipsách a [[Slunce]] je v [[ohnisko|ohnisku]].
+
Přičemž <big>\(p</math> představuje [[parametr kuželosečky]] a <big>\(\varepsilon</math> její [[excentricita|excentricitu]]. Výsledná křivka je tedy [[kružnice]], [[elipsa]], [[parabola (matematika)|parabola]] nebo [[hyperbola]]. Odvodili jsme tedy [[první Keplerův zákon]]. Speciálně planety se pohybují po elipsách a [[Slunce]] je v [[ohnisko|ohnisku]].
== Perioda oběhu po elipse ==
== Perioda oběhu po elipse ==
-
Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je [[numerická excentricita]] <math>\varepsilon < 1</math>. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat [[perioda oběhu|periodu oběhu]].
+
Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je [[numerická excentricita]] <big>\(\varepsilon < 1</math>. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat [[perioda oběhu|periodu oběhu]].
Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy
Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy
-
<math>T=\frac{2\pi a b}{l}</math>,
+
<big>\(T=\frac{2\pi a b}{l}</math>,
-
kde <math>a</math> a <math>b</math> je velká a malá poloosa elipsy.
+
kde <big>\(a</math> a <big>\(b</math> je velká a malá poloosa elipsy.
Přitom z předpisu elipsy v polárním  tvaru je zřejmé, že platí
Přitom z předpisu elipsy v polárním  tvaru je zřejmé, že platí
-
<math>2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2}</math>,
+
<big>\(2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2}</math>,
dále pak dle definice výše
dále pak dle definice výše
-
<math>p=\frac{l^2}{GM}</math>
+
<big>\(p=\frac{l^2}{GM}</math>
nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu
nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu
-
<math>b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}</math>.
+
<big>\(b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}</math>.
Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme
Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme
-
<math>T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}</math>
+
<big>\(T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}</math>
Úpravou získáváme [[třetí Keplerův zákon]] v obvyklém tvaru.
Úpravou získáváme [[třetí Keplerův zákon]] v obvyklém tvaru.
-
<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}</math>
+
<big>\(\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}</math>
Byly tedy odvozeny všechny tři [[Keplerovy zákony]]. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.
Byly tedy odvozeny všechny tři [[Keplerovy zákony]]. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.
Řádka 128: Řádka 128:
Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána [[Keplerova rovnice|Keplerovou rovnicí]].
Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána [[Keplerova rovnice|Keplerovou rovnicí]].
-
V tomto případě je výhodnější místo závislosti <math>\varphi</math> na čase zkoumat závislost [[excentrická anomálie|excentrické anomálie]] <math>E</math>, která je pro tento účel výhodnější parametrizací.
+
V tomto případě je výhodnější místo závislosti <big>\(\varphi</math> na čase zkoumat závislost [[excentrická anomálie|excentrické anomálie]] <big>\(E</math>, která je pro tento účel výhodnější parametrizací.
Pro elipsu přitom platí
Pro elipsu přitom platí
-
<math>x=a\cos E-\varepsilon a</math>
+
<big>\(x=a\cos E-\varepsilon a</math>
-
<math>y=b\sin E</math>
+
<big>\(y=b\sin E</math>
Kde osa x míří k [[perihel]]u, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.
Kde osa x míří k [[perihel]]u, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. 		Broom icon.png

Keplerova úloha je v klasické mechanice problém dvou těles, které spolu interagují centrálními silami, jejichž velikost závisí na druhé mocnině vzdálenosti těchto těles (gravitační síla, elektrická síla, magnetická síla). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.

Keplerova úloha byla nazvána po Johannu Keplerovi, který objevil Keplerovy zákony, které jsou řešením Keplerovy úlohy.

Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla

Mějme tělesa o hmotnostech \(m_1</math> a \(m_2</math>, velikost síly, kterou se přitahují je dána vztahem

\(F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}</math>,

kde \(G</math> je gravitační konstanta a \(r</math> vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie

\(V=-\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.

Lagrangián soustavy je pak dán výrazem

\(L=T-V=\frac{1}{2}m_1 \dot{\rm{x}}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\rm{x}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}_2-\rm{x}_1|}</math>,

kde \(\rm{x}_1</math> a \(\rm{x}_2</math> jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.

Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě, zavedeme tedy nové proměnné

\(\rm{X}=\frac{m_1 \rm{x}_1 + m_2 \rm{x}_2}{m_1 + m_2}</math>,

\(\rm{x}=\rm{x}_1 - \rm{x}_2</math>,

kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.

Lagrangián v těchto proměnných má tvar

\(L=\frac{1}{2}M \dot{\rm{X}}^2 + \frac{1}{2}\mu \dot{\rm{x}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}|}</math>,

Kde

\(M=m_1 + m_2</math>

a

\(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}</math>.

Zde je zřejmé, že proměnná \(\rm{X}</math> je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz \(M \dot{X}</math> integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar

\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.

Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že \(\theta =90</math> a \(\dot{\theta}=0</math>, pak pro další časy \(\theta</math> zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.

\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.

Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):

\(L= \frac{1}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G M}{r}</math>

Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:

\(r^2 \dot{\varphi} = l</math>

\(\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2} </math>

Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.

První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě \(l</math>, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna \(l/2</math>). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.

Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou \(r</math>.

\(\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2} </math>

Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné \(u=\frac{1}{r}</math>, potom totiž máme:

\(\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}</math>

Označíme-li \(u'=\frac{du}{d\varphi}</math>, dostáváme

\(\ddot{r}=-l u \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u</math>.

Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec

\(u+u=\frac{GM}{l^2}</math>,

Což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar

\(u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}</math>

Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je

\(r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)}</math>,

kde

\(p = \frac{l^2}{GM}</math>

\(\varepsilon = A\frac{l^2}{GM}</math>.

Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis kuželosečky v polárních souřadnicích. Přičemž \(p</math> představuje parametr kuželosečky a \(\varepsilon</math> její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Speciálně planety se pohybují po elipsách a Slunce je v ohnisku.

Perioda oběhu po elipse

Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita \(\varepsilon < 1</math>. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.

Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy

\(T=\frac{2\pi a b}{l}</math>,

kde \(a</math> a \(b</math> je velká a malá poloosa elipsy.

Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí

\(2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2}</math>,

dále pak dle definice výše

\(p=\frac{l^2}{GM}</math>

nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu

\(b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}</math>.

Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme

\(T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}</math>

Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru.

\(\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}</math>

Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovy zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.

Keplerova rovnice

Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána Keplerovou rovnicí.

V tomto případě je výhodnější místo závislosti \(\varphi</math> na čase zkoumat závislost excentrické anomálie \(E</math>, která je pro tento účel výhodnější parametrizací.

Pro elipsu přitom platí

\(x=a\cos E-\varepsilon a</math>

\(y=b\sin E</math>

Kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Keplerova_%C3%BAloha“