Laminární proudění

Z Multimediaexpo.cz

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách - „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity. Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které není potenciálové. Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Obsah [skrýt] 1 Ustálené proudění v úzké trubici 1.1 Rychlostní profil 1.2 Hagen-Poiseuilleův zákon 1.3 Maximální a průměrná rychlost proudění 2 Vlastnosti 3 Související články 4 Externí odkazy

Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

Rychlostní profil

Uvažujme v trubici o poloměru $r$ malý válec kapaliny o poloměru $x$ a délce $\mathrm{\Delta }l$. Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak $p_1$ a na výstupní průřez tlak $p_2$. Tlakový rozdíl na délce $\mathrm{\Delta }l$ má hodnotu $\mathrm{\Delta }p=p_1-p_2$. Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

$F=\pi x^2\mathrm{\Delta }p$

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

$F_t=2\pi x\mathrm{\Delta }l\tau$,

kde $\tau$ je tečné napětí. Při ustáleném proudění musí být $F$ a $F_t$ v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

$\pi x^2\mathrm{\Delta }p=-\pi x\mathrm{\Delta }l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

$v=-\frac{1}{4\eta }\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }l}{x}^2+k$,

kde $k$ je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. $v=0$ pro $x=r$. Po dosazení úpravě dostaneme

$v=\frac{1}{4\eta }\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)$

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti $v$ na $x$ (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok $Q_v$. Rychlost $v$ je v určité vzdálenosti $x$ od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti $x$ a šířce $\mathrm{d}x$ proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

$\mathrm{d}{Q}_v=2\pi xv\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2\eta }\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x$

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

$Q_v=\frac{\pi r^4}{8\eta }\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }l}$

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskozní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu $\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }l}$ a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě $\eta$.

Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

$v_{\text{max}}=\frac{1}{4\eta }\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }l}{r}^2$

a nachází se na ose trubice ($x=0$). Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice ($S=\pi r^2$), tzn.

$v_s=\frac{Q_v}{S}=\frac{1}{8\eta }\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }l}{r}^2=\frac{1}{2}{v}_{\text{max}}$

Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice. O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body $A,B$ na ose trubice ve vzdálenosti $s$ a dva body $C,D$ na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že $D$ se nachází na stejném řezu trubicí jako $A$ a bod $C$ se nachází na stejném řezu jako $B$. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body $A,D$ a $B,C$ je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

$\oint v\mathrm{d}s={\int }_A^{B}v\mathrm{d}s=v_{\text{max}}s$

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že $\mathrm{rot}v$ je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé. Tlakový spád $\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }l}$ je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

$F\sim \frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }l}\sim v_s$

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní. Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.

Související články

• Proudění
• Turbulentní proudění
• Reynoldsovo číslo

Externí odkazy

• Laminární proudění na přepadu přehrady (youtube.com)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii