Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !
Keplerova úloha
Z Multimediaexpo.cz
| Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. |
|
Keplerova úloha je v klasické mechanice problém dvou těles, které spolu interagují centrálními silami, jejichž velikost závisí na druhé mocnině vzdálenosti těchto těles (gravitační síla, elektrická síla, magnetická síla). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.
Keplerova úloha byla nazvána po Johannu Keplerovi, který objevil Keplerovy zákony, které jsou řešením Keplerovy úlohy.
Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla
Mějme tělesa o hmotnostech <math>m_1</math> a <math>m_2</math>, velikost síly, kterou se přitahují je dána vztahem
<math>F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}</math>,
kde <math>G</math> je gravitační konstanta a <math>r</math> vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie
<math>V=-\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
Lagrangián soustavy je pak dán výrazem
<math>L=T-V=\frac{1}{2}m_1 \dot{\rm{x}}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\rm{x}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}_2-\rm{x}_1|}</math>,
kde <math>\rm{x}_1</math> a <math>\rm{x}_2</math> jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.
Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě, zavedeme tedy nové proměnné
<math>\rm{X}=\frac{m_1 \rm{x}_1 + m_2 \rm{x}_2}{m_1 + m_2}</math>,
<math>\rm{x}=\rm{x}_1 - \rm{x}_2</math>,
kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.
Lagrangián v těchto proměnných má tvar
<math>L=\frac{1}{2}M \dot{\rm{X}}^2 + \frac{1}{2}\mu \dot{\rm{x}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}|}</math>,
Kde
<math>M=m_1 + m_2</math>
a
<math>\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}</math>.
Zde je zřejmé, že proměnná <math>\rm{X}</math> je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz <math>M \dot{X}</math> integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar
<math>L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že <math>\theta =90</math> a <math>\dot{\theta}=0</math>, pak pro další časy <math>\theta</math> zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.
<math>L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}</math>.
Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):
<math>L= \frac{1}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G M}{r}</math>
Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:
<math>r^2 \dot{\varphi} = l</math>
<math>\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2} </math>
První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě <math>l</math>, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna <math>l/2</math>). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.
Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou <math>r</math>.
<math>\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2} </math>
Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné <math>u=\frac{1}{r}</math>, potom totiž máme:
<math>\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}</math>
Označíme-li <math>u'=\frac{du}{d\varphi}</math>, dostáváme
<math>\ddot{r}=-l u \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u</math>.
Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec
<math>u+u=\frac{GM}{l^2}</math>,
Což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar
<math>u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}</math>
Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je
<math>r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)}</math>,
kde
<math>p = \frac{l^2}{GM}</math>
<math>\varepsilon = A\frac{l^2}{GM}</math>.
Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis kuželosečky v polárních souřadnicích. Přičemž <math>p</math> představuje parametr kuželosečky a <math>\varepsilon</math> její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Speciálně planety se pohybují po elipsách a Slunce je v ohnisku.
Perioda oběhu po elipse
Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita <math>\varepsilon < 1</math>. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.
Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy
<math>T=\frac{2\pi a b}{l}</math>,
kde <math>a</math> a <math>b</math> je velká a malá poloosa elipsy.
Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí
<math>2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2}</math>,
dále pak dle definice výše
<math>p=\frac{l^2}{GM}</math>
nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu
<math>b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}</math>.
Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme
<math>T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}</math>
Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru.
<math>\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}</math>
Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovy zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.
Keplerova rovnice
Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána Keplerovou rovnicí.
V tomto případě je výhodnější místo závislosti <math>\varphi</math> na čase zkoumat závislost excentrické anomálie <math>E</math>, která je pro tento účel výhodnější parametrizací.
Pro elipsu přitom platí
<math>x=a\cos E-\varepsilon a</math>
<math>y=b\sin E</math>
Kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |