Rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Uvažujme dvě funkce <math>f(x), g(x)</math>, které jsou definovány na nějaké množině <math>D</math>, pak nalezení všech <math>x \in D</math>, která splňují rovnost

<math>f(x) = g(x)</math>

se nazývá rovnicí o jedné neznámé <math>x</math>. Funkce <math>f(x)</math> se nazývá levá strana rovnice a <math>g(x)</math> se nazývá pravá strana rovnice.

Obsah

Kořeny rovnice

Každé číslo <math>x_0 \in D</math>, které vyhovuje vztahu <math>f(x_0) = g(x_0)</math>, se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v <math>D</math>, nazývá se řešitelná v <math>D</math>, pokud žádný kořen v <math>D</math> nemá, říkáme, že rovnice je v <math>D</math> neřešitelná. Pokud je rovnice <math>f(x) = g(x)</math> splněna pro všechna <math>x \in D</math>, jde o identitu, což značíme

<math>f(x) \equiv g(x)</math>

Triviální řešení

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení. V mnoha případech přímo součástí zadání problému požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení. Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

<math>y^\prime = y</math>

je

<math>y = 0</math>,

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

<math>y = \mathrm{e}^x</math>,

což je exponenciální funkce. Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice <math>a^n + b^n = c^n</math> pro <math>n>2</math>. Triviálním řešením by v tomto případě bylo <math>a = b = c = 0</math>, což platí pro libovolné <math>n</math>. Podobně je triviálním řešením <math>a = 1, b = 0, c = 1</math>. Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice <math>f_1(x) = g_1(x), f_2(x) = g_2(x)</math>, pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní. Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

  • přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. <math>f(x) + a = g(x) + a</math> je ekvivalentní rovnicí s rovnicí <math>f(x) = g(x)</math>
  • vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. <math>a f(x) = a g(x)</math> je ekvivalentní rovnicí s rovnicí <math>f(x) = g(x)</math>

Rovnici <math>f(x) = g(x)</math> je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

<math>F(x) = f(x) - g(x) = 0</math>

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Zkouška

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o více neznámých

Rovnice o <math>n</math> neznámých má tvar

<math>F(x_1,x_2,...,x_n) = 0</math>

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě <math>F(x) = 0</math>, přičemž řešením rovnice o <math>n</math> neznámých jsou n-tice <math>(x_1, x_2, ..., x_n)</math>.

Algebraické a nealgebraické rovnice

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované jako polynomiální rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice). Jako algebraickou rovnici <math>n</math>-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0</math>,

kde levou stranu rovnice tvoří polynom <math>n</math>-tého stupně s <math>a_n \neq 0</math>, přičemž se předpokládá, že <math>n \geq 1</math>. Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické. Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky. Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice <math>(n = 1)</math>, kvadratická rovnice <math>(n = 2)</math>, kubická rovnice <math>(n = 3)</math> a kvartická rovnice <math>(n = 4)</math>. Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice. Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně <math>n \geq 1</math> alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů. Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. <math>3 x^2 y + 3 x^3 + 2 y^3 - 5 x y^2 = 0</math> je homogenní rovnice třetího stupně. Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru <math>f(x)=0</math>, kde <math>f(x)</math> je homogenní funkce.

Další druhy rovnic

Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální. Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální. Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

Související články

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Rovnice“