Afinní geometrie
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 31: | Řádka 31: | ||
| kapitola=Afinní prostor | | kapitola=Afinní prostor | ||
| jazyk = česky | | jazyk = česky | ||
| - | }}</ref> Afinní báze afinního prostoru je pevně zvolený bod <big>\(a</ | + | }}</ref> Afinní báze afinního prostoru je pevně zvolený bod <big>\(a\)</big> (počátek souřadnicové soustavy) a ''n'' [[vektor]]ů <big>\(v_1,v_2,\ldots,v_n\)</big>, které tvoří [[báze vektorového prostoru|bázi]] příslušného [[vektorový prostor|vektorového prostoru]]. Libovolný bod ''x'' je pak možné vyjádřit jednoznačně jako <big>\(x=a+\sum \alpha_i v_i\)</big>. Koeficienty <big>\(\alpha_i\)</big> se nazývají souřadnice bodu ''x''. |
Transformace, které zachovávají afinní strukturu, jsou tzv. [[afinní transformace]]. Jsou to všechna zobrazení, které se v pevně zvolených souřadnicích dají popsat | Transformace, které zachovávají afinní strukturu, jsou tzv. [[afinní transformace]]. Jsou to všechna zobrazení, které se v pevně zvolených souřadnicích dají popsat | ||
| - | :<big>\(x\mapsto Ax + b</ | + | :<big>\(x\mapsto Ax + b\)</big> |
kde ''A'' je [[matice]] a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení [[lineární zobrazení|lineárního zobrazení]] a [[posunutí (geometrie)|posunutí]]. | kde ''A'' je [[matice]] a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení [[lineární zobrazení|lineárního zobrazení]] a [[posunutí (geometrie)|posunutí]]. | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:50
Afinní geometrie je typ geometrie, v které jsou definovány body, vektory a přímky, nikoliv ale úhly, vzdálenosti a kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a pátý Eukleidův postulát. Název afinní zavedl Leonard Euler, [1] jako samostatná disciplína se afinní geometrie chápe od Kleinova Erlangenského programu.[2]
Model pro afinní geometrii je obvykle afinní prostor spolu s množinou afinních transformací. Afinní transformace převádí přímky na přímky a zachovávají poměr délek úseček na přímce. V reálné afinní rovině afinní transformace také zachovávají poměr obsahů těles, těžiště trojúhelníků, převádějí elipsy na elipsy, paraboly na paraboly a hyperboly na hyperboly.
Afinní geometrie v rovině je možné zadat také axiomaticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o existenci rovnoběžek a tvrzení, že paralelnost přímek je relace ekvivalence. [3]
V lineární algebře se dá afinní prostor zkonstruovat z libovolného vektorového prostoru nad tělesem jako jeho afinní rozšíření.[4] Afinní báze afinního prostoru je pevně zvolený bod \(a\) (počátek souřadnicové soustavy) a n vektorů \(v_1,v_2,\ldots,v_n\), které tvoří bázi příslušného vektorového prostoru. Libovolný bod x je pak možné vyjádřit jednoznačně jako \(x=a+\sum \alpha_i v_i\). Koeficienty \(\alpha_i\) se nazývají souřadnice bodu x.
Transformace, které zachovávají afinní strukturu, jsou tzv. afinní transformace. Jsou to všechna zobrazení, které se v pevně zvolených souřadnicích dají popsat
- \(x\mapsto Ax + b\)
kde A je matice a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení lineárního zobrazení a posunutí.
Množina všech invertibilních afinních transformací se nazývá afinní grupa. Obsahuje všechna posunutí a regulární lineární zobrazení vektorů.
Reference
- ↑ BLASCHKE, Wilhelm. Analytische Geometrie. [s.l.] : Birkhäuser, 1954. ISBN 978-3764300319. (anglicky)
- ↑ COXETER, H.S.M.. Introduction to geometry. [s.l.] : Wiley, 1989. ISBN 978-0471504580. S. 191. (anglicky)
- ↑ Coxeter, strana 192
- ↑ BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. [s.l.] : Academia, 2002. ISBN 80-200-0843-8. Kapitola Afinní prostor. (česky)
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |