Afinní geometrie

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Afinní geometrie|700}}
+
'''Afinní geometrie''' je typ [[geometrie]], v&nbsp;které jsou definovány body, vektory a&nbsp;přímky, nikoliv ale úhly, vzdálenosti a&nbsp;kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a&nbsp;pátý [[Euklidovy postuláty|Eukleidův postulát]]. Název afinní zavedl [[Leonhard Euler|Leonard Euler]], <ref>{{Citace monografie
 +
| příjmení = Blaschke
 +
| jméno = Wilhelm
 +
| titul = Analytische Geometrie
 +
| vydavatel = Birkhäuser
 +
| rok = 1954
 +
| isbn = 978-3764300319
 +
| jazyk = anglicky
 +
}}</ref> jako samostatná disciplína se afinní geometrie chápe od [[Felix Christian Klein|Kleinova]] Erlangenského programu.<ref>{{Citace monografie
 +
| příjmení = Coxeter
 +
| jméno = H.S.M.
 +
| titul = Introduction to geometry
 +
| vydavatel = Wiley
 +
| rok = 1989
 +
| isbn = 978-0471504580
 +
| jazyk = anglicky
 +
| strany=191
 +
}}</ref>
 +
Model pro afinní geometrii je obvykle [[afinní prostor]] spolu s&nbsp;množinou [[afinní transformace|afinních transformací]]. Afinní transformace převádí přímky na přímky a&nbsp;zachovávají [[poměr]] délek úseček na přímce. V&nbsp;reálné afinní rovině afinní transformace také zachovávají poměr [[obsah]]ů těles, [[těžiště]] trojúhelníků, převádějí [[elipsa|elipsy]] na elipsy, [[parabola (matematika)|paraboly]] na paraboly a&nbsp;[[hyperbola|hyperboly]] na hyperboly.
 +
 +
Afinní geometrie v rovině je možné zadat také [[axiom]]aticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o&nbsp;existenci [[rovnoběžka|rovnoběžek]] a&nbsp;tvrzení, že paralelnost přímek je [[Ekvivalence (matematika)|relace ekvivalence]]. <ref>Coxeter, strana 192</ref>
 +
 +
V [[lineární algebra|lineární algebře]] se dá afinní prostor zkonstruovat z libovolného [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] nad [[Těleso (algebra)|tělesem]] jako jeho afinní rozšíření.<ref>{{Citace monografie
 +
| příjmení = Bican
 +
| jméno = Ladislav
 +
| titul = Lineární algebra a geometrie
 +
| vydavatel = Academia
 +
| rok = 2002
 +
| isbn = 80-200-0843-8
 +
| kapitola=Afinní prostor
 +
| jazyk = česky
 +
}}</ref> Afinní báze afinního prostoru je pevně zvolený bod <math>a</math> (počátek souřadnicové soustavy) a ''n'' [[vektor]]ů <math>v_1,v_2,\ldots,v_n</math>, které tvoří [[báze vektorového prostoru|bázi]] příslušného [[vektorový prostor|vektorového prostoru]]. Libovolný bod ''x'' je pak možné vyjádřit jednoznačně jako <math>x=a+\sum \alpha_i v_i</math>. Koeficienty <math>\alpha_i</math> se nazývají souřadnice bodu ''x''.
 +
 +
Transformace, které zachovávají afinní strukturu, jsou tzv. [[afinní transformace]]. Jsou to všechna zobrazení, které se v pevně zvolených souřadnicích dají popsat
 +
:<math>x\mapsto Ax + b</math>
 +
kde ''A'' je [[matice]] a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení [[lineární zobrazení|lineárního zobrazení]] a [[posunutí (geometrie)|posunutí]].
 +
 +
Množina všech invertibilních afinních transformací se nazývá [[afinní grupa]]. Obsahuje všechna posunutí a&nbsp;regulární [[lineární zobrazení]] vektorů.
 +
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Verze z 5. 8. 2014, 21:23

Afinní geometrie je typ geometrie, v které jsou definovány body, vektory a přímky, nikoliv ale úhly, vzdálenosti a kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a pátý Eukleidův postulát. Název afinní zavedl Leonard Euler, [1] jako samostatná disciplína se afinní geometrie chápe od Kleinova Erlangenského programu.[2]

Model pro afinní geometrii je obvykle afinní prostor spolu s množinou afinních transformací. Afinní transformace převádí přímky na přímky a zachovávají poměr délek úseček na přímce. V reálné afinní rovině afinní transformace také zachovávají poměr obsahů těles, těžiště trojúhelníků, převádějí elipsy na elipsy, paraboly na paraboly a hyperboly na hyperboly.

Afinní geometrie v rovině je možné zadat také axiomaticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o existenci rovnoběžek a tvrzení, že paralelnost přímek je relace ekvivalence. [3]

V lineární algebře se dá afinní prostor zkonstruovat z libovolného vektorového prostoru nad tělesem jako jeho afinní rozšíření.[4] Afinní báze afinního prostoru je pevně zvolený bod <math>a</math> (počátek souřadnicové soustavy) a n vektorů <math>v_1,v_2,\ldots,v_n</math>, které tvoří bázi příslušného vektorového prostoru. Libovolný bod x je pak možné vyjádřit jednoznačně jako <math>x=a+\sum \alpha_i v_i</math>. Koeficienty <math>\alpha_i</math> se nazývají souřadnice bodu x.

Transformace, které zachovávají afinní strukturu, jsou tzv. afinní transformace. Jsou to všechna zobrazení, které se v pevně zvolených souřadnicích dají popsat

<math>x\mapsto Ax + b</math>

kde A je matice a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení lineárního zobrazení a posunutí.

Množina všech invertibilních afinních transformací se nazývá afinní grupa. Obsahuje všechna posunutí a regulární lineární zobrazení vektorů.

Reference

  1. ↑ BLASCHKE, Wilhelm. Analytische Geometrie. [s.l.] : Birkhäuser, 1954. ISBN 978-3764300319. (anglicky) 
  2. ↑ COXETER, H.S.M.. Introduction to geometry. [s.l.] : Wiley, 1989. ISBN 978-0471504580. S. 191. (anglicky) 
  3. ↑ Coxeter, strana 192
  4. ↑ BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. [s.l.] : Academia, 2002. ISBN 80-200-0843-8. Kapitola Afinní prostor. (česky) 


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Afinn%C3%AD_geometrie“