Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Kužel
Z Multimediaexpo.cz
Kužel je oblé těleso, které získáme jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy. Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele je označována jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstavu nazýváme společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmou vzdálenost mezi podstavou a vrcholem nazýváme výškou kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště nazýváme stranou kužele. Je-li podstavou kužele kruh, pak jej označíme jako kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak kužel označujeme jako rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak jej označujeme jako kosý.
Obsah |
Kuželová plocha a prostor
Mějme jednoduchou uzavřenou křivku \(k\), která leží v rovině. Body, které leží přímkách procházejících libovolným bodem křivky \(k\) a bodem \(V\) ležícím mimo rovinu křivky \(k\) tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor. Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na přímku. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.
Rovnice
Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině \(z=c\) prochází elipsou \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) (tzv. řídící křivka), má rovnici
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)
Přímky, které tvoří povrch kužele se nazývají tvořící přímky. Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1\)
Pro \(a=b\) jde o rotační kužel s osou rotace \(z\). Kuželovou plochu s vrcholem v bodě \([x_0,y_0,z_0]\) je vždy možné vyjádřit rovnicí
- \(F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0\)
Vlastnosti
Pro objem kužele platí
- \(V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v\),
kde \(S_p\) je obsah podstavy a \(v\) je výška kužele.
Rotační kužel
Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.
Vlastnosti
Označíme-li \(r\) poloměr kruhové podstavy kužele a \(h\) výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:
- poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako
- \( s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\! \)
- objem kužele jako
- \( V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\! \)
- povrch kužele jako součet obsahu podstavy \( S_p = \pi r^2 \,\! \) a obsahu pláště \( S_{pl} = \pi r s \,\! \)
- \( S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! \)
- Symetrické vlastnosti
- Kužel není středově souměrný.
- Kužel je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
- Kužel je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).
- V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. To je ostatně vidět i ze vzorce pro objem, který je hodně podobný vzorci pro objem jehlanu.
Kuželosečky
Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou. Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:
- průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)
Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:
- průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele
- průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele
- průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)
To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.
Související články
- Geometrický útvar
- Kvadratická plocha
- Oblá tělesa
- Mnohostěn
- Válec
- Jehlan
- Komolý kužel
- Elipsa
- Parabola
- Hyperbola
Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |