Moment setrvačnosti

Z Multimediaexpo.cz

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.

Obsah

[skrýt]

1 Značení
2 Výpočet
- 2.1 Diskrétní rozložení hmoty
- 2.2 Spojité rozložení hmoty
3 Poloměr setrvačnosti
4 Momenty setrvačnosti některých těles
5 Steinerova věta
6 Tenzor setrvačnosti
7 Plošný moment setrvačnosti
8 Polární moment setrvačnosti
9 Související články
10 Literatura
11 Externí odkazy

Značení

Symbol veličiny: J , někdy také I
Základní jednotka SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg . m²

Výpočet

Diskrétní rozložení hmoty

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost $ω$ všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech $n$ hmotných bodů soustavy, tzn.

E_{k} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} ω^{2}

,

kde $m_{i}$ je hmotnost $i$ -tého hmotného bodu, $v_{i}$ je velikost jeho rychlosti, $r_{i}$ je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. $v = ω r$ . Předchozí vztah lze upravit na tvar

E_{k} = \frac{1}{2} ω^{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}^{2} = \frac{1}{2} J ω^{2}

,

kde veličina $J$ představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

J = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + \dots + m_{n} r_{n}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}

Spojité rozložení hmoty

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

J = \int_{M} r^{2} d m

,

kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti $M$ .

Je-li $ρ$ hustota tělesa, pak $d m = ρ d V$ , kde $V$ je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

J = \int_{V} r^{2} ρ d V

Integruje se přes objem celého tělesa $V$ .

V případě, že je těleso homogenní, tzn. $ρ = konst.$ , je možné předchozí vztah zjednodušit

J = ρ \int_{V} r^{2} d V

Poloměr setrvačnosti

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa $M$ a čtverce jisté střední vzdálenosti $R$ , ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

J = M R^{2}

Vzdálenost $R = \sqrt{\frac{J}{M}}$ se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

Moment setrvačnosti tyče délky $l$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce

J = \frac{1}{12} m l^{2}

Moment setrvačnosti tyče délky $l$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce

J = \frac{1}{3} m l^{2}

Moment setrvačnosti koule o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející středem koule.

J = \frac{2}{5} m r^{2}

Moment setrvačnosti plného válce o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose souměrnosti.

J = \frac{1}{2} m r^{2}

Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru $r_{1}$ a vnějším poloměru $r_{2}$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose souměrnosti.

J = \frac{1}{2} m (r_{2}^{2} + r_{1}^{2})

Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose otáčení.

J = m r^{2}

Steinerova věta

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

J = J_{0} + m r_{T}^{2}

,

kde $J_{0}$ je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, $m$ je hmotnost tělesa a $r_{T}$ je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnosti

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy $S$ úhlovou rychlostí $ω$ , má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu

E_{k} = \frac{1}{2} J_{S} ω^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {| ω \times r_{i} |}^{2}

,

kde $J_{S}$ je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose $S$ , $v_{i}$ je rychlost $i$ -tého hmotného bodu soustavy, a $r_{i}$ je polohový vektor $i$ -tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa $S$ .

Vektor $ω$ , který směřuje podél osy $S$ lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek $ω_{x}, ω_{y}, ω_{z}$ vzhledem k souřadnicovým osám $x, y, z$ . Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

E_{k} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} [{(ω_{y} z_{i} - ω_{z} y_{i})}^{2} + {(ω_{z} x_{i} - ω_{x} z_{i})}^{2} + {(ω_{x} y_{i} - ω_{y} x_{i})}^{2}]

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

2 E_{k} = ω_{x}^{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} (y_{i}^{2} + z_{i}^{2}) + ω_{y}^{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} (z_{i}^{2} + x_{i}^{2}) + ω_{z}^{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) - 2 ω_{x} ω_{y} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} y_{i} - 2 ω_{y} ω_{z} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i} z_{i} - 2 ω_{z} ω_{x} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} z_{i} x_{i}

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz

E_{k} = \frac{1}{2} ω_{x}^{2} J_{x} + \frac{1}{2} ω_{y}^{2} J_{y} + \frac{1}{2} ω_{z}^{2} J_{z} - ω_{x} ω_{y} D_{x y} - ω_{y} ω_{z} D_{y z} - ω_{z} ω_{x} D_{z x}

,

kde

J_{x} = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i}^{2} + z_{i}^{2}) m_{i}

J_{y} = \sum_{i = 1}^{n} (z_{i}^{2} + x_{i}^{2}) m_{i}

J_{z} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) m_{i}

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám $x, y, z$ a

D_{x y} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} m_{i}

D_{y z} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} z_{i} m_{i}

D_{z x} = \sum_{i = 1}^{n} z_{i} x_{i} m_{i}

jsou deviační momenty.

Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

J_{x} = \int_{M} (y^{2} + z^{2}) d m

J_{y} = \int_{M} (z^{2} + x^{2}) d m

J_{z} = \int_{M} (x^{2} + y^{2}) d m

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

D_{x y} = \int_{M} x y d m

D_{y z} = \int_{M} y z d m

D_{z x} = \int_{M} z x d m

Vektor $ω$ , který leží v ose $S$ je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. $\cos α = \frac{ω_{x}}{ω}, \cos β = \frac{ω_{y}}{ω}, \cos γ = \frac{ω_{z}}{ω}$ , kde $ω$ je velikost vektoru $ω$ . Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti $J_{S}$ vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami $x, y, z$ úhly $α, β, γ$

J_{S} = J_{x} \cos^{2} α + J_{y} \cos^{2} β + J_{z} \cos^{2} γ - 2 D_{y z} \cos β \cos γ - 2 D_{z x} \cos γ \cos α - 2 D_{x y} \cos α \cos β

Změní-li se směr osy $S$ vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti $J_{S}$ . Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.

Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:

J = \int (E r^{2} - r \otimes r) d m = \int [\begin{matrix} y^{2} + z^{2} & - x y & - x z \\ - x y & x^{2} + z^{2} & - y z \\ - x z & - y z & x^{2} + y^{2} \end{matrix}] d m

,

kde symbol $\otimes$ představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Plošný moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme $z = 0$ . Hmotnostní element $d m$ je pak nahrazován plošným elementem $d S$ .

Plošné momenty setrvačnosti k osám $x, y$ jsou tedy

J_{x} = \int_{S} y^{2} d S

J_{y} = \int_{S} x^{2} d S

Z deviačních momentů je nenulový pouze

D_{x y} = \int_{S} x y d S

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.

Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

J_{x y} = \int_{M} z^{2} d m

J_{y z} = \int_{M} x^{2} d m

J_{z x} = \int_{M} y^{2} d m

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám $x, y, z$ pak platí

J_{x} = J_{x y} + J_{z x}

J_{y} = J_{x y} + J_{y z}

J_{z} = J_{y z} + J_{z x}

Polární moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou $z$ ) je

J_{p} = J_{x} + J_{y} = \int_{S} (x^{2} + y^{2}) d S = \int_{S} r^{2} d S

Související články

Literatura

Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Externí odkazy

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii