Hyperbola

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Hyperbola jako kuželosečka.

Ilustrace definice: ohniska (B1, B2); bod hyperboly (P); vzdálenosti ohnisek (d1, d2).

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek. Hyperbola také tvoří graf funkce \(y=1/x</math> v kartézské soustavě souřadnic. Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Obsah

1 Matematická vyjádření
- 1.1 Kartézský souřadnicový systém
- 1.2 Polární souřadnicový systém
2 Související články
3 Externí odkazy

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

\(\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!</math>

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek \(F_1</math> a \(F_2</math> konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis hyperboly:

Soubor:Hyperbola kartezsky system.GIF

Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou y.

S[m, n] - Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F₁, F₂ - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o₁ - hlavní osa hyperboly
o₂ - vedlejší osa hyperboly
p₁, p₂ - asymptoty hyperboly
\(|AS| = |SB| = a \,\!</math> - délka hlavní poloosy
\(|CS| = |SD| = b \,\!</math> - délka vedlejší poloosy
\(|F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\!</math> excentricita
\(|AB| = 2a \,\!</math> - délka hlavní osy
\(|CD| = 2b \,\!</math> - délka vedlejší osy
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole </div> Pokud \(a=b</math>, pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění

Hlavní osa \(o_1</math> hyperboly rovnoběžná s osou \(x</math>

Středová rovnice:

\({(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>

Obecná rovnice:

\(Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>

Rovnice asymptot:

\(y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!</math>

Rovnice tečny v bodě \(T[x_0, y_0]</math>:

\({(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!</math>

Hlavní osa \(o_1</math> hyperboly rovnoběžná s osou \(y</math>

Středová rovnice:

\({(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>

Obecná rovnice:

\(- Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>

Rovnice asymptot:

\(y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!</math>

Rovnice tečny v bodě \(T[x_0, y_0]</math>:

\({(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!</math>

Asymptoty \(p_1, p_2</math> rovnoběžné s osami \(x</math> a \(y</math>

Soubor:Función inversa.png

Asymptoty totožné s osami x a y: y = 1/x

Středová rovnice:

\((x - m)(y - n) = c \,\!</math>

\(a = b = \sqrt{2|c|} \,\!</math>

Obecná rovnice:

\(xy + Ax + By + C = 0 \,\!</math>

Rovnice asymptot:

\(x = m, y = n \,\!</math>

Převedení obecné rovnice na středovou

Uspořádáme členy v rovnici.

\(2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\!</math>

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.

\(2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left[(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}] = {17\over 4} \,\!</math>

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

\(2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\!</math>

\(2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!</math>

\({(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!</math>

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa \(o_1</math> je rovnoběžná s osou \(x</math>.
\(S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!</math>, \(a = \sqrt{2} \,\!</math>, \(b = 2 \,\!</math>, \(e = \sqrt{6} \,\!</math>, \(p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>, \(p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>

Vzájemná poloha hyperboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant \(D</math> je:

D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna

Vzájemná poloha hyperboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Polární souřadnicový systém

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

\(r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!</math>

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

\(r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!</math>

Související články

Externí odkazy

Vyčerpávající popis hyperboly

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Hyperbola

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 [[Image:Hyperbool.png|thumb|Ilustrace definice: ohniska (''B1'', ''B2''); bod hyperboly (''P''); vzdálenosti ohnisek (''d1'', ''d2'').]]
 '''Hyperbola''' je [[rovinná křivka]], [[kuželosečka]] s [[výstřednost]]í větší než 1. Lze ji také definovat jako [[množina|množinu]] všech [[bod]]ů v [[rovina|rovině]] o daném [[rozdíl]]u [[vzdálenost]]í od dvou pevných [[ohnisko|ohnisek]].
-Hyperbola také tvoří [[Graf (funkce)|graf funkce]] <math>y=1/x</math> v [[kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic]].
+Hyperbola také tvoří [[Graf (funkce)|graf funkce]] <big>\(y=1/x</math> v [[kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic]].
 Tvar hyperboly má dráha [[těleso|tělesa]] v poli [[centrální síla|centrální síly]] ([[gravitační pole|gravitační]] nebo [[elektrické pole]] vytvořené tělesem, které lze [[aproximace|aproximovat]] bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna [[sférická symetrie|sféricky symetrická]] tělesa pro [[prostor (geometrie)|prostor]] mimo jejich vnitřek), pokud je [[rychlost]] tohoto tělesa vyšší, než je [[úniková rychlost]].
 == Matematická vyjádření ==
 '''Implicitní vyjádření'''
-: <math>\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!</math>
+: <big>\(\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!</math>
-[[Množina]] všech [[bod]]ů X v [[rovina|rovině]], které mají od dvou různých [[ohnisko|ohnisek]] <math>F_1</math> a <math>F_2</math> [[konstanta|konstantní]] (neměnnou) [[absolutní hodnota|absolutní hodnotu]] rozdílu [[vzdálenost]]í.
+[[Množina]] všech [[bod]]ů X v [[rovina|rovině]], které mají od dvou různých [[ohnisko|ohnisek]] <big>\(F_1</math> a <big>\(F_2</math> [[konstanta|konstantní]] (neměnnou) [[absolutní hodnota|absolutní hodnotu]] rozdílu [[vzdálenost]]í.
 === Kartézský souřadnicový systém ===
 Standardní popis hyperboly: <br />
@@ Řádka 19: / Řádka 19: @@
 '''o<sub>2</sub>''' - vedlejší osa hyperboly <br />
 '''p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>''' - [[asymptota|asymptoty]] hyperboly <br />
-<math>|AS| = |SB| = a \,\!</math> - délka hlavní poloosy <br />
+<big>\(|AS| = |SB| = a \,\!</math> - délka hlavní poloosy <br />
-<math>|CS| = |SD| = b \,\!</math> - délka vedlejší poloosy <br />
+<big>\(|CS| = |SD| = b \,\!</math> - délka vedlejší poloosy <br />
-<math>|F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\!</math> [[excentricita]] <br />
+<big>\(|F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\!</math> [[excentricita]] <br />
-<math>|AB| = 2a \,\!</math> - délka hlavní osy <br />
+<big>\(|AB| = 2a \,\!</math> - délka hlavní osy <br />
-<math>|CD| = 2b \,\!</math> - délka vedlejší osy <br />
+<big>\(|CD| = 2b \,\!</math> - délka vedlejší osy <br />
 '''X[x, y]''' - libovolný bod náležící hyperbole
 </div>
-Pokud <math>a=b</math>, pak dostáváme rovnici '''rovnoosé hyperboly'''.
+Pokud <big>\(a=b</math>, pak dostáváme rovnici '''rovnoosé hyperboly'''.
 ==== Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění ====
-*Hlavní osa <math>o_1</math> hyperboly [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>x</math>
+*Hlavní osa <big>\(o_1</math> hyperboly [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <big>\(x</math>
 :''Středová [[rovnice]]'':
-:: <math>{(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>
+:: <big>\({(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>
 :''Obecná rovnice'':
-:: <math>Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>
+:: <big>\(Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>
 :''Rovnice [[asymptota|asymptot]]'':
-:: <math>y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!</math>
+:: <big>\(y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!</math>
-:''Rovnice [[tečna|tečny]] v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>'':
+:''Rovnice [[tečna|tečny]] v bodě <big>\(T[x_0, y_0]</math>'':
-:: <math>{(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!</math>
+:: <big>\({(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!</math>
-*Hlavní osa <math>o_1</math> hyperboly rovnoběžná s osou <math>y</math>
+*Hlavní osa <big>\(o_1</math> hyperboly rovnoběžná s osou <big>\(y</math>
 :''Středová rovnice'':
-:: <math>{(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>
+:: <big>\({(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>
 :''Obecná rovnice'':
-:: <math>- Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>
+:: <big>\(- Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>
 :''Rovnice [[asymptota|asymptot]]'':
-:: <math>y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!</math>
+:: <big>\(y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!</math>
-:''Rovnice [[tečna|tečny]] v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>:
+:''Rovnice [[tečna|tečny]] v bodě <big>\(T[x_0, y_0]</math>:
-:: <math>{(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!</math>
+:: <big>\({(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!</math>
-*[[asymptota|Asymptoty]] <math>p_1, p_2</math> [[rovnoběžky|rovnoběžné]] s osami <math>x</math> a <math>y</math>
+*[[asymptota|Asymptoty]] <big>\(p_1, p_2</math> [[rovnoběžky|rovnoběžné]] s osami <big>\(x</math> a <big>\(y</math>
 [[Image:Función inversa.png|thumb|Asymptoty totožné s osami ''x'' a ''y'': ''y = 1/x'']]
 :''Středová rovnice'':
-:: <math>(x - m)(y - n) = c \,\!</math><br />
+:: <big>\((x - m)(y - n) = c \,\!</math><br />
-:: <math>a = b = \sqrt{2|c|} \,\!</math>
+:: <big>\(a = b = \sqrt{2|c|} \,\!</math>
 :''Obecná rovnice'':
-:: <math>xy + Ax + By + C = 0 \,\!</math>
+:: <big>\(xy + Ax + By + C = 0 \,\!</math>
 :''Rovnice asymptot'':
-:: <math>x = m, y = n \,\!</math>
+:: <big>\(x = m, y = n \,\!</math>
 ==== Převedení obecné rovnice na středovou ====
 Uspořádáme členy v [[rovnice|rovnici]].
-: <math>2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\!</math>
+: <big>\(2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\!</math>
 Z prvních dvou členů vytkneme dvojku ([[koeficient]]) a doplníme je na druhou [[mocnina|mocninu]] [[mnohočlen|dvojčlenu]]. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.
-: <math>2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left[(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}] = {17\over 4} \,\!</math>
+: <big>\(2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left[(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}] = {17\over 4} \,\!</math>
 Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.
-: <math>2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\!</math>
+: <big>\(2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\!</math>
-: <math>2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!</math>
+: <big>\(2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!</math>
-: <math>{(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!</math>
+: <big>\({(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!</math>
 Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.<br />
-Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa <math>o_1</math> je rovnoběžná s osou <math>x</math>.<br />
+Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa <big>\(o_1</math> je rovnoběžná s osou <big>\(x</math>.<br />
-<math>S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!</math>, <math>a = \sqrt{2} \,\!</math>, <math>b = 2 \,\!</math>,
+<big>\(S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!</math>, <big>\(a = \sqrt{2} \,\!</math>, <big>\(b = 2 \,\!</math>,
-<math>e = \sqrt{6} \,\!</math>, <math>p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>, <math>p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>
+<big>\(e = \sqrt{6} \,\!</math>, <big>\(p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>, <big>\(p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>
 ==== Vzájemná poloha hyperboly a přímky ====
 Řešíme [[soustava rovnic|soustavu rovnic]] hyperboly a [[přímka|přímky]].
@@ Řádka 73: / Řádka 73: @@
 s jednou z [[asymptota|asymptot]] - přímka je [[sečna|sečnou]] hyperboly s jedním [[průsečík]]em.
 Pakliže [[lineární rovnice]] nemá žádné řešení - přímka není [[sečna]].
-Pokud vyjde [[kvadratická rovnice]] a [[diskriminant]] <math>D</math> je:
+Pokud vyjde [[kvadratická rovnice]] a [[diskriminant]] <big>\(D</math> je:
 *D &gt; 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
 *D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
@@ Řádka 86: / Řádka 86: @@
 === Polární souřadnicový systém ===
 Pro hyperbolu se středem ''S'' umístěným v počátku platí rovnice:
-:<math>r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!</math>
+:<big>\(r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!</math>
 Pro hyperbolu s ohniskem ''F'' umístěným v počátku platí rovnice:
-:<math>r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!</math>
+:<big>\(r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!</math>
 == Související články ==
 *[[Geometrický útvar]]