Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Hyperbola
Z Multimediaexpo.cz
m (1 revizi) |
m (1 revizi) |
Verze z 24. 5. 2014, 16:07
.png)
Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek. Hyperbola také tvoří graf funkce <math>y=1/x</math> v kartézské soustavě souřadnic. Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.
Obsah |
Matematická vyjádření
Implicitní vyjádření
- <math>\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!</math>
Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek <math>F_1</math> a <math>F_2</math> konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.
Kartézský souřadnicový systém
Standardní popis hyperboly:
S[m, n] - Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F1, F2 - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o1 - hlavní osa hyperboly
o2 - vedlejší osa hyperboly
p1, p2 - asymptoty hyperboly
<math>|AS| = |SB| = a \,\!</math> - délka hlavní poloosy
<math>|CS| = |SD| = b \,\!</math> - délka vedlejší poloosy
<math>|F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\!</math> excentricita
<math>|AB| = 2a \,\!</math> - délka hlavní osy
<math>|CD| = 2b \,\!</math> - délka vedlejší osy
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole
Pokud <math>a=b</math>, pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.
Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění
- Hlavní osa <math>o_1</math> hyperboly rovnoběžná s osou <math>x</math>
- Středová rovnice:
- <math>{(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>
- Obecná rovnice:
- <math>Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>
- Rovnice asymptot:
- <math>y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!</math>
- Rovnice tečny v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>:
- <math>{(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!</math>
- Hlavní osa <math>o_1</math> hyperboly rovnoběžná s osou <math>y</math>
- Středová rovnice:
- <math>{(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>
- Obecná rovnice:
- <math>- Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>
- Rovnice asymptot:
- <math>y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!</math>
- Rovnice tečny v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>:
- <math>{(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!</math>
- Asymptoty <math>p_1, p_2</math> rovnoběžné s osami <math>x</math> a <math>y</math>
- Středová rovnice:
- <math>(x - m)(y - n) = c \,\!</math>
- <math>a = b = \sqrt{2|c|} \,\!</math>
- <math>(x - m)(y - n) = c \,\!</math>
- Obecná rovnice:
- <math>xy + Ax + By + C = 0 \,\!</math>
- Rovnice asymptot:
- <math>x = m, y = n \,\!</math>
Převedení obecné rovnice na středovou
Uspořádáme členy v rovnici.
- <math>2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\!</math>
Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.
- <math>2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left[(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}] = {17\over 4} \,\!</math>
Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.
- <math>2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\!</math>
- <math>2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!</math>
- <math>{(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!</math>
Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa <math>o_1</math> je rovnoběžná s osou <math>x</math>.
<math>S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!</math>, <math>a = \sqrt{2} \,\!</math>, <math>b = 2 \,\!</math>,
<math>e = \sqrt{6} \,\!</math>, <math>p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>, <math>p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>
Vzájemná poloha hyperboly a přímky
Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant <math>D</math> je:
- D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
- D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
- D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna
Vzájemná poloha hyperboly a bodu
Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:
- výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
- výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
- výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly
Polární souřadnicový systém
Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:
- <math>r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!</math>
Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:
- <math>r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!</math>
Související články
Externí odkazy
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |