Hyperbola

Z Multimediaexpo.cz

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek. Hyperbola také tvoří graf funkce <math>y=1/x</math> v kartézské soustavě souřadnic. Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Obsah 1 Matematická vyjádření 1.1 Kartézský souřadnicový systém 1.1.1 Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění 1.1.2 Převedení obecné rovnice na středovou 1.1.3 Vzájemná poloha hyperboly a přímky 1.1.4 Vzájemná poloha hyperboly a bodu 1.2 Polární souřadnicový systém 2 Související články 3 Externí odkazy

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

<math>\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!</math>

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek <math>F_1</math> a <math>F_2</math> konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis hyperboly:

Pokud <math>a=b</math>, pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění

• Hlavní osa <math>o_1</math> hyperboly rovnoběžná s osou <math>x</math>

Středová rovnice:

<math>{(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>

Obecná rovnice:

<math>Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>

Rovnice asymptot:

<math>y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!</math>

Rovnice tečny v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>:

<math>{(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!</math>

• Hlavní osa <math>o_1</math> hyperboly rovnoběžná s osou <math>y</math>

Středová rovnice:

<math>{(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!</math>

Obecná rovnice:

<math>- Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!</math>

Rovnice asymptot:

<math>y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!</math>

Rovnice tečny v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>:

<math>{(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!</math>

• Asymptoty <math>p_1, p_2</math> rovnoběžné s osami <math>x</math> a <math>y</math>

Středová rovnice:

<math>(x - m)(y - n) = c \,\!</math>

<math>a = b = \sqrt{2|c|} \,\!</math>

Obecná rovnice:

<math>xy + Ax + By + C = 0 \,\!</math>

Rovnice asymptot:

<math>x = m, y = n \,\!</math>

Převedení obecné rovnice na středovou

Uspořádáme členy v rovnici.

<math>2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\!</math>

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.

<math>2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left[(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}] = {17\over 4} \,\!</math>

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

<math>2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\!</math>

<math>2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!</math>

<math>{(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!</math>

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa <math>o_1</math> je rovnoběžná s osou <math>x</math>.
<math>S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!</math>, <math>a = \sqrt{2} \,\!</math>, <math>b = 2 \,\!</math>, <math>e = \sqrt{6} \,\!</math>, <math>p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>, <math>p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!</math>

Vzájemná poloha hyperboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant <math>D</math> je:

• D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
• D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
• D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna

Vzájemná poloha hyperboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

• výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
• výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
• výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Polární souřadnicový systém

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

<math>r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!</math>

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

<math>r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!</math>

Související články

• Geometrický útvar
• Křivka
• Parabola
• Elipsa
• Kružnice
• Mocninná křivka

Externí odkazy

• Vyčerpávající popis hyperboly

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu Hyperbola

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii